Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và những dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và những dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài viết ngày hôm nay, cmm.edu.vn sẽ giới thiệu về một số tri thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

Bạn đang xem bài: Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và những dạng bài tập thường gặp

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. có rất nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ tức là:

– Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

2. những dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho  là những số thực dương ta có:

– Dạng 1: 

– Dạng 2: 

– Dạng 3: 

– Dạng 4: 

– Dạng 5: 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

b. Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Cô-si

Là những trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát ở trên khi n=2, n=3.

c. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

d. Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

• Khi vận dụng bất đẳng thức cô si thì những số phải là những số không âm
• Bất đẳng thức côsi thường được vận dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
• Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là những số bằng nhau
• Bất đẳng thức côsi còn có phương thức khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:

• x2+y2≥2xy.
• x2+y2≥(x+y)22
• xy≤(x+y2)2

Đối với ba số: abc≤a3+b3+c33,abc≤(a+b+c3)3

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

4. Chứng minh của Cauchy

a. những trường hợp tất cả những trị giá bằng nhau

nếu như tất cả những trị giá bằng nhau:

tức tổng chúng là nx₁, do vậy trị giá trung bình cộng là x₁; và tích những số dưới căn bậc hai là x₁ⁿ, do dó trị giá trung bình nhân lúc này là x₁; vì vậy, vế một và vế 2 bằng nhau, điều phải chứng minh.

b. những trường hợp những trị giá không bằng nhau

nếu như tất cả những trị giá bằng nhau không bằng nhau, thì trị giá trung bình cộng lớn hơn trị giá trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xả ra khi n> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.

c. Trường hợp n = 2

nếu như n= 2, tức có hai trị giá x₁ và x₂, và từ giả thiết ở trên, ta có:

điều phải chứng minh.

d. Trường hợp n = 2^k

Xem xét những trường hợp n= 2 ^k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

trường hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một trị giá k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2^k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2^k. Để làm tương tự, những bước được thực hiện như sau:

với bất đẳng thức trước tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng:

(trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằngx₁, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ hai); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu như hai trị giá trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả 2 ^k đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:

(điều phải chứng minh).

e. Trường hợp n < 2^k

nếu như n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2^k,… không bị chặn trên. do vậy, mà không mất tính tổng quát, với m trị giá tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Vì vậy, nếu như ta có n số, thì ta có thể trình diễn trị giá trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

Chúng tôi sau đó có:

tương tự

điều phải chứng minh.

II. những DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức  với x > 0

Lời giải:

vận dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (do x > 0)

Vậy min

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện . Tìm trị giá lớn nhất của biểu thức 

Lời giải:

vận dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

vận dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

Tương tự ta có  và 

Cộng vế với vế ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

b. Bài tập luyện thêm:

Bài 1: Tìm trị giá nhỏ nhất của những biểu thức sau:

a, với x > 0

(gợi ý: biến đổi  rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b,  với x > 0

c, với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức  với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi )

Bài 3: Với a, b, c là những số thực không âm, chứng minh:

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)

Vậy là những em vừa được tìm hiểu lý thuyết và những dạng bài tập thường gặp của bất đẳng thức Cô-si. hy vọng, chia sr cùng bà viết bạn nắm vững hơn phần tri thức Đại số 9 vô cùng quan trọng này. Xem thêm những phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai tại đường link này nhé ! 

Bản quyền bài viết thuộc cmm.edu.vn. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://cmm.edu.vn

https://cmm.edu.vn/bat-dang-thuc-co-si-ly-thuyet-can-ghi-nho-va-cac-dang-bai-tap-thuong-gap/