những PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong những đề thi đại học thì dạng phương trình thường triển khai và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với những bạn cách giải những phương trình bậc bốn dạng
x4+ax3+bx2+cx+d=0 trong đó a,b,c,d là những số thực khác không:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể
2. tìm hiểu đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
4. Phương pháp đồ thị.

những PHƯƠNG PHÁP:

1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể.

Ví dụ 1.
Giải phương trình (x2−a)2−6×2+4x+2a=0   (1)

Bạn đang xem bài: Cách giải nhanh phương trình bậc 4

Giải:
Phương trình (1) được viết thành

x4−2ax2+a2−6×2+4x+2a=0

hay x4−(2a+6)x2+4x+a2+2a=0

‘>x4−(2a+6)x2+4x+a2+2a=0

    (2)

Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng

a2−2(x2−1)a+x4−6×2+4x=0 (3)

Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:

Ví dụ 2.
Giải phương trình x4−x3−5×2+4x+4=0 (1)

Giải:
Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng:

−x3−x2−(4×2−4x−4)=0

x2(x2−x−1)−4(x2−x−1)=0

(x2−4)(x2−x−1)=0

Vậy (1) có 4 nghiệm là

Ví dụ 3.
Giải phương trình
     32×4−48×3−10×2+21x+5=0    (1)

Giải:
Ta viết (1) dưới dạng:

2(16×4−24×3+9×2)−7(4×2−3x)+5=0

Và đặt: y=4×2−3x thì (1) được biến đổi thành

2y2−7y+5=0

Từ đó y1=1 và y2=5/2

Giải tiếp những phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay y1=1 và y2=5/2 vào y=4×2−3x ):

4×2−3x−1=0

Và 8×2−6x−5=0

Ta sẽ đuợc những nghiệm của (1).

Ví dụ 4.
 Giải phương trình

2×4+3×3−16×2+3x+2=0 (1)

Giải:

Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi e/a=(d/b)²)

Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho x2 (khác không) thì (1) tương đuơng với

tương tự, với những ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải những phương trình và phương trình thân thuộc.

2. tìm hiểu đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ 5.
Giải phương trình:

x4+4×3−10×2+37x−14=0 (1)

Giải:

Ta thử tìm hiểu vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2+px+q và x2+rx+s , trong đó

p,q,r,s là những hệ số nguyên chưa xác định.

Ta có:

x4+4×3−10×2+37x−14=(x2+px+q)(x2+rx+s) (2)

Đồng nhất những hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế  của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau

Lưu ý:

Trong một số truờng hợp ta không thể sử dụng phương pháp này vì nhiều khi việc tìm hiểu trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên.

3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4

Dụng ý của ta là tìm hiểu đa thức x4+ax3+bx2+cx+d thành hai nhân tử bậc hai

sử dụng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:

Ví dụ 6.

Giải phương trình: x4−x3−7×2+x+6=0

Giải:
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc h:

4. Phương pháp đồ thị.

Phương pháp:

Để giải phương trình bậc bốn

x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1)

bằng đồ thị, ta hãy đặt x2=y−mx

Phương trình (1) trở thành: y2−2mxy+m2x2+axy−axm2+bx2+cx+d=0

Để khử đuợc những số hạng có xy trong phương trình này thì phải có:

Cách giải phương trình bậc 4

Cách giải phương trình đa thức bậc bốn tổng quát

Phương trình bậc bốn tổng quát:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0 (a≠0,a,b,c,d,e∈R) ta luôn đưa được phương trình về dạng x4+ax3+bx2+cx+d=0 bằng cách chia hai vế phương trình cho a.

Vậy ta xét phương trình: x4+ax3+bx2+cx+d=0.

Để giải phương trình này ta thực hiện nhóm hằng đẳng thức như sau:

Bản quyền bài viết thuộc THPTSocTrang.Edu.Vn. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: cmm.edu.vn