Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng là một trong những phần tri thức trọng tâm của chương trình Toán 11. Nhằm giúp những bạn nắm vững hơn chuyên đề toán quan trọng này, Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn dành thời gian tìm hiểu để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình học tập nhé !

I. CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG

Bạn đang xem bài: Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

1. Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d₁; d₂ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ bằng cách lựa chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng những đường thẳng d₁, d₂ tuần tự song song ( có thể tròng nếu như O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d₁ và d₂. Góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ chính là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u₁, u₂ của hai đường thẳng d₁, d₂

lúc đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi cos(d₁, d₂) = 

Lưu ý 2: Để tính u₁→, u₂→, |u₁→|, |u₂→| ta lựa chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị những vec tơ u₁→, u₂→ qua những vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện những tính toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90°               B. 60°               C. 45°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

 (do ABCD là hình vuông)

lựa chọn C.

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45°               B. 90°               C. 60°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

lúc đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C = CA = a√2) do vậy ∠B’CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA’) = (AC, CB’) = ∠ACB’= 60°.

lựa chọn C

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA’C’ nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A’D) = (A’C’, A’D) = ∠DA’C’

lựa chọn B

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. lựa chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA’, B’D’) = (BB’, B’D’) = ∠BB’C = 90°.

Khẳng định B sai. lựa chọn B.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F tuần tự là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

Từ (1) và (2) suy ra:

do vậy IJEF là hình thoi

Suy ra (IE; JF) = 90°.

lựa chọn D

III. BÀI TẬP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 45°

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

lựa chọn C

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J tuần tự là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Lời giải:

lựa chọn C

Gọi M; N tuần tự là trung điểm AC; BC.

Ta có:

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

Bài 3 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

. Gọi I và J tuần tự là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120°               B. 90°               C. 60°               D.45°

Lời giải:

lựa chọn B

+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều.

⇒ BC = BD (= AB)

+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :

BC = AC.

AD = BD

CD chung

⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ

⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IJ ⊥ AB.

⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả những cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Lời giải

Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.

Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .

do vậy tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy). Vậy SA ⊥ SC

lựa chọn D.

Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. lúc đó cos( AB; DM) bằng

Lời giải:

lựa chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

Do những mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài những cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và những cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N tuần tự là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Lời giải:

lựa chọn D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD    (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD     (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).

⇒ (MN; SC) = (SA; SC).

Xét tam giác SAC, ta có:

 ⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC

⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°

Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. lúc đó cos( AB; DM) bằng

Lời giải

lựa chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

Do những mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài những cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

Vậy là những bạn vừa được tìm hiểu cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất vqafa nhiều bài tập vận dụng. hy vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nhé !

Bản quyền bài viết thuộc Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://cmm.edu.vn