Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng là một trong những phần tri thức trọng tâm của chương trình Toán 11. Nhằm giúp những bạn nắm vững hơn chuyên đề toán quan trọng này, Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn dành thời gian tìm hiểu để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình học tập nhé !

I. CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG

Bạn đang xem bài: Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất

1. Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách lựa chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

1584423686 xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 1

Từ O dựng những đường thẳng d1, d2 tuần tự song song ( có thể tròng nếu như O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

1584423686 xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 2

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2

lúc đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = 

1584423686 xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 3

Lưu ý 2: Để tính u1u2, |u1|, |u2| ta lựa chọn ba vec tơ a→b→c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị những vec tơ u1u2 qua những vec tơ a→b→c→ rồi thực hiện những tính toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90°               B. 60°               C. 45°               D. 120°

Hướng dẫn giải

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 4

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 5 (do ABCD là hình vuông)

lựa chọn C.

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45°               B. 90°               C. 60°               D. 120°

Hướng dẫn giải

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 6

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

lúc đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C = CA = a√2) do vậy ∠B’CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA’) = (AC, CB’) = ∠ACB’= 60°.

lựa chọn C

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 7

Hướng dẫn giải

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 8

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA’C’ nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A’D) = (A’C’, A’D) = ∠DA’C’

lựa chọn B

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. lựa chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA’, B’D’) = (BB’, B’D’) = ∠BB’C = 90°.

Khẳng định B sai. lựa chọn B.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F tuần tự là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 9

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 10

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 11

Từ (1) và (2) suy ra:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 12

do vậy IJEF là hình thoi

Suy ra (IE; JF) = 90°.

lựa chọn D

III. BÀI TẬP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 45°

Lời giải:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 18

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 19

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

lựa chọn C

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J tuần tự là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Lời giải:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 13

lựa chọn C

Gọi M; N tuần tự là trung điểm AC; BC.

Ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 14

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 15

Bài 3 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 16. Gọi I và J tuần tự là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120°               B. 90°               C. 60°               D.45°

Lời giải:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 17

lựa chọn B

+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều.

⇒ BC = BD (= AB)

+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :

BC = AC.

AD = BD

CD chung

⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ

⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IJ ⊥ AB.

⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả những cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 26

Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.

Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .

do vậy tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy). Vậy SA ⊥ SC

lựa chọn D.

Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. lúc đó cos( AB; DM) bằng

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 27

Lời giải:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 28

lựa chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 29

Do những mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài những cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 30

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và những cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N tuần tự là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Lời giải:

lựa chọn D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD    (1)

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 31

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD     (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).

⇒ (MN; SC) = (SA; SC).

Xét tam giác SAC, ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 32 ⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC

⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°

Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. lúc đó cos( AB; DM) bằng

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 27

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 28

lựa chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 29

Do những mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài những cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

xac dinh goc giua hai vecto goc giua hai duong thang 30

Vậy là những bạn vừa được tìm hiểu cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất vqafa nhiều bài tập vận dụng. hy vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nhé !

Bản quyền bài viết thuộc Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://cmm.edu.vn

Trích nguồn: Cmm.Edu.Vn
Danh mục: Giáo dục

Back to top button