Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập vận dụng. Là một phần tri thức của phương trình bậc 2 một ẩn nhưng hệ thức Vi-ét được ứng dụng trong nhiều dạng toán và bài tập. Đây cũng là nội dung thường hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Vậy hệ thức Vi-ét được ứng dụng vào những dạng bài toán nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Đồng thời vận dụng hệ thức Vi-ét để giải một số bài tập toán liên quan để từ đó rèn luyện kỹ năng làm toán của những em.

Bạn đang xem bài: Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập – Toán lớp 9

I. tri thức phương trình bậc 2 một ẩn và hệ thức Vi-ét cần nhớ

1. Phương trình bậc 2 một ẩn

i) Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là những hệ số và a ≠ 0.

ii) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

– Đối với phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² – 4ac:

• nếu như Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

• nếu như Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

• nếu như Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Hệ thức Vi-ét

• Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm  lúc đó:

Đặt: Tổng nghiệm là: 

Tích nghiệm là: 

• Định lý VI-ÉT: nếu như x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

• nếu như hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X² – SX + P = 0, (Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0).

* Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

• nếu như nhẩm được: x₁ + x₂ = m + n; x₁x₂ = m.n thì phương trình có nghiệm x₁ = m; x₂ = n.

– nếu như a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: 

– nếu như a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

* Nhận xét: tương tự ta thấy hệ thức Vi-ét liên hệ chặt chẽ nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn với những hệ số a, b, c của nó.

II. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong việc giải những bài tập toán liên quan.

1. Nhẩm nghiệm của phương trinh bậc hai một ẩn

* Ví dụ: Giải những phương trình sau (bằng cách nhẩm nghiệm).

a) 3x²  – 8x + 5 =0

b) 2x² + 9x + 7 = 0

c) x² + x – 6 = 0

° Lời giải:

a) 3x²  – 8x + 5 =0 (1)

– Ta thấy pt(1) có dạng a + b + c = 0 nên theo Vi-ét pt(1) có nghiệm:

b) 2x² + 9x + 7 = 0 (2)

– Ta thấy pt(2) có dạng a – b + c = 0 nên theo Vi-ét pt(1) có nghiệm:

c) x² + x – 6 = 0

– Ta có: x₁ + x₂ = (-b/a) = -1 và x₁.x₂ = (c/a) = -6 từ hệ này có thể nhẩm ra nghiệm: x₁ = 2 và x₂ = -3.

2. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x₁, x₂

* Ví dụ 1: Cho x₁ = 3; x₂ = -2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Lời giải:

– Theo hệ thức Vi-ét ta có:  vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

x² – Sx + P ⇔ x² – x – 6 = 0

* Ví dụ 2: Cho x₁ = 3; x₂ = 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Lời giải:

– Theo hệ thức Vi-ét ta có:  vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

x² – Sx + P ⇔ x² – 5x + 6 = 0

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

– nếu như hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0 (điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0).

* Ví dụ 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 1 và a.b = -6

° Lời giải:

– Vì a + b = 1 và a.b = -6 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x² – x – 6 = 0.

– Giải phương trình này ta được x₁ = 3 và x₂ = -2.

* Ví dụ 2: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = -3 và a.b = -4

– Vì a + b = -3 và a.b = -4 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x² + 3x – 4 = 0.

– Giải phương trình này ta được x₁ = 1 và x₂ = -4.

4. Tính trị giá của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai

– Đối với bài toán này ta cần biến đổi những biểu thức nghiệm mà đề cho về biểu thức có chứa Tổng nghiệm S và Tích nghiệm P để vận dụng hệ thức Vi-ét rồi tính trị giá của biểu thức này.

* Ví dụ: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, tính những trị giá của biểu thức sau:

               

° Lời giải:

– Ta có: 

 

5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho nghiệm này độc lâp (không phụ thuộc) với thông số

• Để giải bài toán này, ta thực hiện như sau:

– Đặt điều kiện cho thông số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁, x₂

– vận dụng hệ thức Vi-ét ta tính được S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂ theo thông số

– sử dụng những phép biến đổi để tính thông số theo x₁ và x₂, từ đó dẫn tới hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂.

* Ví dụ: Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: (m – 1)x² – 2mx + m – 4 = 0. Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x₁ + x₂) + 2x₁x₂ – 8 không phụ thuộc vào m.

° Lời giải:

– Để phương trình trên có 2 nghiệm x₁ và x₂ thì:

 

– Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

– Thay vào biểu thức A ta được:

⇒ A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ 4/5.

– Kết luận: A không phụ thuộc vào m.

III. Một số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét

* Bài 1: Giải những phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm

a) x² + 9x + 8 = 0

b) 

c) 

* Bài 2: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 3x² + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn: y₁ = 2x₁ – x₂ và y₂ = 2x₂ – x₁.

* Bài 3: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính trị giá của những biểu thức sau:

          

         

tương tự, hy vọng với nội dung về hệ thức Vi-ét Bài tập và ứng dụng vào bài toán liên quan ở trên sẽ giúp những em hiểu rõ hơn và có thể giải bài toán dạng này dễ dàng hơn.

Thực tế nội dung này còn có những bài tập vận dụng tăng như biện luận nghiệm, tính tổng nghiệm đối với những phương trình có chứa thông số. Có thể Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trungsẽ chia sẻ với những bạn ở những bài viết tiếp theo, chúc những bạn học tốt.

 

Hy vọng với bài viết Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập ở trên giúp ích cho những em. Mọi góp ý và thắc mắc những em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trungghi nhận và hỗ trợ, chúc những em học tốt.

Bản quyền bài viết thuộc THPTSocTrang.Edu.Vn. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: cmm.edu.vn