Phép quay là gì? Phương pháp giải những dạng toán của phép quay

Phép quay là gì? Phương pháp giải những dạng toán của phép quay

Phép quay là một trong những phần tri thức trọng tâm của chương trình Hình học 11 có rất nhiều trong những đề thi quan trọng. Nhằm giúp những bạn nắm chắc hơn về chuyên đề phép quay và phương pháp giải những dạng toán thường gặp của phép quay, cmm.edu.vn đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP QUAY

Bạn đang xem bài: Phép quay là gì? Phương pháp giải những dạng toán của phép quay

1. Phép quay là gì?

• khái niệm: Cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm A thành điểm A’ sao cho OA = OA’ và góc lượng giác (OA, OA’) =  được gọi là phép quay tâm O góc .

Trong đó: O là tâm quay,  là góc quay. Phép quay được kí hiệu là: 

• nếu như  là phép đối xứng tâm.
• nếu như  là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép quay

• Phép quay là phép biến hình nên nó có đầy đủ tính chất của phép dời hình.
• Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
• Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

_{Ta có:} : góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d’ là 

góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng 

3. trình diễn ảnh của phép quay

Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy trình diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI những DẠNG TOÁN CỦA PHÉP QUAY

Dạng 1: Sử dụng phép quay để giải những bài toán tập hợp điểm

Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q(I;α) nào đó. Để tìm tập hợp điểm M′ ta đi tìm tập hợp điểm M mà Q(I;α) nào đó biến điểm M thành điểm M′, lúc đó nếu như M ∈ (H) thì M‘ ∈ (H’)= Q(I;α)((H))

Ví dụ: Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích những điểm B, C khi A di động trên a

Lời giải

Do tam giác ABC đều và có tâm G nên phép quay tâm G góc quay biến A thành B hoặc C và phép quay tâm G góc quay 240⁰ biến A thành B hoặc C

Mà A∈ a nên B, C thuộc những đường thẳng là ảnh của a trong hai phép quay nói trên

Vậy quỹ tích những điểm B, C là những đường thẳng ảnh của a trong hai phép quay tâm G góc quay 120⁰ và 240⁰

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua phép quay
Phương pháp giải: Sử dụng khái niệm phép quay, biểu thức tọa độ của phép quay và những tính chất của phép quay 90⁰

Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (2; 0) và đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0. Xét phép quay Q tâm O góc quay 90⁰

a. Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q
b. Tìm ảnh của d qua phép quay Q

Lời giải

a. Ta có vì M(2;0)∈ Qx ⇒ Q(0;90⁰) (M)= M’⇒ M/(0;2)

b. Ta có M(2;0) ∈ d , ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’ (0; 2)

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d

Đường thẳng d có VTPT là n^→ = (1;2) suy ra d’ có VTPT là n’^→ = (2;-1)

Vậy phương trình của d’ là: 2(x-0)- 1(y-2)=0 

Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải những bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay  Q(I;α) nào đó

Ví dụ : Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b tuần tự hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều

Lời giải

nếu như xem B là ảnh của A qua phép quay tâm C góc quay 60° thì B sẽ là giao của đường thẳng b với đường thẳng a’ là ảnh của a qua phép quay nói trên

Số nghiệm của bài toán là số giao điểm của đường thẳng b với đường thẳng a’

Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải những bài toán hình học phẳng

Ví dụ : Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có đỉnh chung O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ tuần tự là trọng tâm những tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân

Lời giải

Xét phép quay Q tâm O góc quay 90⁰ , ta có:

ΔOBB=Q90^{0 (Δ OAA’)=G’=Q900(G)}

⇒ Góc GOG’= 90⁰

Vậy, ta được tam giác GOG’ là tam giác vuông cân

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ta dựng những hình vuông ABDE và ACFH. Gọi I là trung điểm của cạnh BCE

a. Chứng minh rằng AE = CD

b. Gọi I, J tuần tự là trung điểm của AE và CD. Chứng minh rằng tam giác BIJ là một tam giác đều

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A (3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90⁰

Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc90⁰

Bài 5: Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác những hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q tuần tự là tâm đối xứng của chúng

a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D

b. Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ

Bài 6: Dựng tam giác đều biết ba đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành cho trước

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B (-3; 6). Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay 90⁰

Bài 8: Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay 0< α ≤ 2π biến hình vuông trên thành chính nó?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 0) và điểm N (0; 2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, lúc đó góc quay của nó là bao nhiêu?
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (3; 0). Tìm tọa độ ảnh A¢ của điểm A qua phép quay Q90⁰

Vậy là những bạn vừa được chia sẻ chuyên đề về phép quay và những dạng toán thường gặp của phép quay. hy vọng, đây sẽ nguồn tư liệu hữu ích giúp những bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề về phép đối xứng trục nữa bạn nhé !  

Bản quyền bài viết thuộc cmm.edu.vn. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://cmm.edu.vn

https://cmm.edu.vn/phep-quay-la-gi-phuong-phap-giai-cac-dang-toan-cua-phep-quay/