Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Chuyên đề về tam giác đồng dạng cũng như cách chứng minh hai tam giác đồng dạng học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 8, phân môn Hình học. Đây là phần tri thức vô cùng quan trọng của chương trình. Bài viết ngày hôm nay, Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung sẽ hệ thống lại tất cả những tri thức cần ghi nhớ về chuyên đề này. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bạn đang xem bài: Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

1. khái niệm hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng là gì? “Đồng dạng” là từ Hán Việt và vốn tức là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có những góc tương ứng bằng nhau và những cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với nhau nếu như: A^=A′^;B^=B′^;C^=C′^

và A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC

Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: △ABC∼△A′B′C′

Tỉ số:  A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k được gọi là tỉ số đồng dạng.

2. những trường hợp đồng dạng của tam giác thường

• Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c).

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

ABDE=ACDF=BCEF

Suy ra: △ABC∼△DEF (c – c – c)

• Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c).

Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:

ABDE=ACDF

A^=D^

Suy ra: △ABC∼△DEF (c – g – c)

• Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

A^=D^

B^=E^

Suy ra: △ABC∼△DEF (g – g)

3. những định lý đồng dạng của tam giác vuông

• Định lý 1: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông

nếu như cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Định lý 2: Hai cạnh góc vuông

nếu như hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Định lý 3: Góc của hai tam giác vuông

nếu như góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

II. CÁCH CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho BCxˆ=BADˆ. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:

• a) △ADB∼△CDI
• b) ADAC=ABAI
• c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Cách giải:

a) Xét △ADB và  △CDI , ta có:

BCxˆ=BADˆ (gt)

D1ˆ=D2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra:  △ADB∼△CDI

b) Xét △ABD và  △AIC , ta có :

Bˆ=Iˆ (△ADB∼△CDI)

A1ˆ=A2ˆ(AD là phân giác)

Suy ra △ABD∼△AIC

Suy ra ADAC=ABAI, suy ra AD.người nào = AB.AC (1)

c) Có ADCD=BDBI △ADB∼△CDI

Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.người nào – AD.DI = AD(người nào – DI ) = AD.AD = AD2

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Bài toán:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ những đường cao DF và EG của  tam giác ADE. Chứng minh:

• a) △ADB∼△AEG
• b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
• c) FG // BC

Cách giải:

a) Xét tam giác ABD và AEG, ta có :

BD AC (BD là đường cao)

EG AC (EG là đường cao)

Suy ra: BD // EG

Suy ra:  △ADB∼△AEG

b) Từ a) Suy raABAE=ADAG

⇒ AD.AE = AB.AG (1)

CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) Xét tam giác ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: ABAF=ACAG

Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho tam giác ABC có những đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

• a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.
• b)  △HED∼△HBC

và HDEˆ=HAEˆ

Cách giải:

a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có :

BEHˆ=CDHˆ=90∘ (gt)

H1ˆ=H2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra:  △HBE∼△HCD (g – g)

b) Xét tam giác HED và HBC, ta có :

HEHD=HDHC (△HBE∼△HCD)

Suy ra: HEHD=HDHC

EHDˆ=CHBˆ(đối đỉnh)

Suy ra △HED∼△HBC(c – g – c)

Suy ra: D1ˆ=C1ˆ(1)

mà còn có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

III. BÀI TẬP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Cho ∆ABC có những đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và 

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Giải

a) xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

 (gt)

 (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

 (∆HBE ~ ∆HCD)

=> 

 (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=>  (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH ⊥ BC tại M.

=> 

mặt khác: 

=>  (2)

từ (1) và (2) : 

hay: 

c) cmtt câu b, ta được:  (3)

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=> 

mà:  (∆HED ~ ∆HBC)

=> 

mà: 

 (cmt)

=>

hay: 

=> ED ⊥ EM.

Bài 2: Cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho  . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) 

c) AD² = AB.AC – BD.DC

Giải

a) ∆ADB và ∆CDI , ta có :
 (gt)

 (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) ∆ABD và ∆AIC , ta có :
 (∆ADB ~ ∆CDI)

 (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=> 

c) => AD.người nào = AB.AC (1)

mà :  (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :
AB.AC – BD.CD = AD.người nào – AD.DI = AD(người nào – DI ) = AD.AD = AD²

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh những hệ thức :

a. AB² = BH.BC và AC² = CH.BC

b. AB² +AC² = BC²

c. AH² = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có:

a. AC² = CH.BC :

 là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> 

=> AC² = CH.BC (1)

Cmtt : AB² = BH.BC (2)

b. AB² +AC² = BC²

Từ (1) và (2), ta có :

AB² +AC² = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC²

c. AH² = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

 cùng phụ 

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=> 

=> AH² = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC :

Ta có :  (∆ABC ~ ∆HAC)
=> AH.BC = AB.AC.

Bài 4: Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ những đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

Giải

a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :
BD ⊥ AC (BD là đường cao)

EG ⊥ AC (EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => 

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmt)

=> FG // BC (định lí đảo talet)

do vậy H là trực tâm, suy ra AH⊥BC tại M.

Suy raA1ˆ+ABCˆ=90∘

Mặt khác : C1ˆ+ABCˆ=90∘

Suy ra: A1ˆ=C1ˆ (2)

Từ (1) và (2) =>  A1ˆ=D1ˆ

hay: HDEˆ=HAEˆ

2. Bài tập tự luyện thêm

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Chứng minh:

a/ AH.BC = AB.AC

b/ AB² = BH.BC

c/ AH² = BH.CH

d/ Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh: CN AM.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm.

a/ Tính AH

b/ Kẻ HD AB; HE AC. Tính diện tích tam giác AED.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM.

a/ Tính AH; BC.                             b/ Tính BH,CH.               c/ Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 5: Cho có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADH và tam giác AHC đồng dạng với tam giác AEH.

b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC.

c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của (K thuộc BC)

Bài 6: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K.

a/ Chứng minh ABC vuông

b/ Tính DB, DC

c/ Chứng minh tam giác EDC đồng dạng với tam giác BDK

d/ Chứng minh DE = DB

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của ABC.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB và suy ra AB² = BH.BC

b) Tính độ dài những đoạn thẳng BH và CH.

c) Kẻ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Chứng minh: AM.AB = AN.AC

d)Chứng minh: tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.

a) Chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.

b) Chứng minh: DB = DE.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, BC = 20cm. Kẻ đường phân giác BD (D thuộc AC)

a) Tính CD và AD

b) Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD

c) Tính diện tích tam giác HCD .

Trên đây, Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung.vn đã giới thiệu tới quý thầy cô và những bạn tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng nhanh nhất. hy vọng, bài viết đã phân phối cho bạn những thông tin hữu ích. Xem thêm cách chứng minh hình thang tại đường link này nhé !

Bản quyền bài viết thuộc Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://cmm.edu.vn

https://cmm.edu.vn/tam-giac-dong-dang-la-gi-cach-chung-minh-hai-tam-giac-dong-dang/